進階數學及科學/月考2/莊坤霖

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
2. 畫圖：
   • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
3. 說明：每圖兩種曲線
   • s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)
   • s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。
   • 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。
   • ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。。

題組二：求微分

1. 2x⁴
2. 4x³
3. -3x
4. 2
5. 4√x
6. 2x⁴+4x³-3x+2

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。
2. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
3. 說明係數與圖形的關係。

題組四： 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。

題組五： 說明求導法則

答案：

題組一：

1. • 速度方程式 s'(x)=0.3X+1.5
   • 加速度方程式 s"(x)=-0.3
2. 
3. • 
     

     dot		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
     x		0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
     S	y	0	0.1485	0.294	0.4365	0.576	0.7125	0.846	0.9765	1.104	1.2285	1.35
     	slope	1.485	1.455	1.425	1.395	1.365	1.335	1.305	1.275	1.245	1.215
     S'	y	1.5	1.47	1.44	1.41	1.38	1.35	1.32	1.29	1.26	1.23	1.2
     	slope	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3

     1. • 
          

          dot		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
          x		0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1
          S'	y	1.5	1.47	1.44	1.41	1.38	1.35	1.32	1.29	1.26	1.23	1.2
          	slope	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3
          S"	y	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3
          	slope	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

          1. • 
               s' (1.26+1.44)*0.6/2=0.81
               ∆s 1.1-0.29=0.81
             • 
               S" 0.6*-0.3=-0.18
               ∆s' 1.26-1.44=-0.18

          題組二：求微分

          1. 8X³
          2. 12X²
          3. -3
          4. 0
          5. 2*1/√X
          6. 8X³+12X²-3

          題組三：x²-4x-1

          1. X=2±√5
          2. -5
             • 最大係數>0開口向上，最大係數<0開口向下
             • 

          題組四： 因為底為正方形所以只有5*5*5=125才能符合

          題組五：

          1. 常數'=0
          2. (Cƒ(x))'=Cƒ'(x) (提出常係數)
          3. (fg)'=f'g+fg' (前導後不導+前不導後導)
          4. dy/dx=dy/dz*dz/dx ( 分子分母同乘d(g(x)) )