進階數學及科學/月考2/施馨檸

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
   • 速度方程式: y=s'(x)=-0.3x+1.5
   • 加速度方程式: y=s''(x)=-0.3
2. 畫圖：
   • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
   • 
3. 說明：每圖兩種曲線

• s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)

x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
s(y)	0.294	0.576	0.846	1.104	1.35
s(slope)	1.4388	1.3788	1.3188	1.2588
s'(y)	1.44	1.38	1.32	1.26	1.2

• s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。

x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
s'(y)	1.44	1.38	1.32	1.26	1.2
s'(slope)	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3
s''(y)	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3

• 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。

∆s=0.81, s'與x所夾面積:0.81

• ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。

∆s'=0.18, s''與x所夾面積:0.18

題組二：求微分

1. 2x⁴
   • 8x³
2. 4x³
   • 12x²
3. -3x
   • -3
4. 2
   • 0
5. 4√x
   • 2*1/√x
6. 2x⁴+4x³-3x+2
   • 8x³+12x²-3

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。

x²-4x=1

x²-2x*2=1

x²-2x*2+2²=1+2²

(x-2)²=5

x-2=±√5

x=2±√5

1. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
2. 說明係數與圖形的關係。

最大次的係數是正的所以圖形開口朝上，最小值是-5。最大係數是2次所以有兩個根。

題組四： 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。

• r=3√62.5/π

題組五： 說明求導法則

• 常數微分為0
• 常係數可提出 (C*f(x))'=C*f'(x)
• 兩個函式微分，前導後不導+前不導後導 f'g+fg'
• 分子分母同乘d(g(x)) dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)