進階數學及科學/月考2/丁禾

題組一：

1. 設時間為 x 軸，位移為 y 軸， y=-0.15*x²+1.5x ，求速度方程式與加速度方程式。
   • s(x)=-0.15*x²+1.5x
   • s'(x)=-0.3x+1.5
   • s''(x) =-0.3
2. 畫圖：
   • 
   • 位移-時間命名為 s(x) 。
   • 速度-時間命名為 s'(x) 。
   • 加速度-時間命名為 s''(x) 。
3. 說明：每圖兩種曲線
   1. s'是s的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s 在各點趨近的切線斜率，及 s' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。(提示：取「切線斜率」時，點要密一點；但取值時點不用很密)
      • 

      • x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
        s的斜率	1.4391	1.3788	1.3188	1.2588	1.1985
        s'的值	1.44	1.38	1.32	1.26	1.2

      • 由上表可見s的斜率與s'的值十分相近，由此可見s'是s的切線斜率。
   2. s''是s'的切線斜率，取 x 為 0.2,0.4,0.6,0.8,1.0 時 s' 在各點趨近的切線斜率，及 s'' 在上述各點的值，比對兩者是否相符。
      • 

      • x	0.2	0.4	0.6	0.8	1.0
        s'的斜率	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3
        s''的值	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3	-0.3

      • 由上表可見s'的斜率與s''的值完全一樣，由此可見s''是s'的切線斜率。
   3. 兩點之間的∆s＝s'與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間s'與 x 軸所夾的面積，及 s 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s 是否等於 s'與 x 軸所夾的面積。
      • 
      • s於0.2和0.8的值分別是0.294和1.104，而s'與 x 軸所夾的面積是一梯形，上底為1.26，下底為1.44
      • 1.26+1.44=2.7=>2.7*0.6=1.62=>1.62/2=0.81
      • 經計算後得出面積為0.81，而1.104-0.294=0.81，因此∆s=s'與 x 軸所夾的面積。
   4. ∆s'＝s''與 x 軸所夾的面積，求 x= 0.2 ~ 0.8 之間 s'' 與 x 軸所夾的面積，及 s' 在 0.2 與 0.8 的值，比對 ∆s' 是否等於 s'' 與 x 軸所夾的面積。
      • 
      • s'於0.2和0.8的值分別是1.44和1.26，而s''與 x 軸所夾的面積是一長方形，長為-0.3，寬為0.6
      • -0.3*0.6=-0.18
      • 經計算後得出面積為-0.18，而1.26-1.44=-0.18，因此∆s'= s''與 x 軸所夾的面積。

題組二：求微分

1. (2x⁴)'=8x³
2. (4x³)'=12x²
3. (-3x)'=-3
4. 2'=0
5. 4√x
   • √x = x^½
   • (x^½)' = x^-½ * 1/2 * 1 = 1/2x^-½
   • x^-½=(x^½)^-1=(√x)^-1=1/√x
   • 1/√x * 1/2 * 4 = 2 * 1/√x
6. (2x⁴+4x³-3x+2)'=8x³+12x²-3

題組三：x²-4x-1

1. x²-4x-1=0，用配方法求兩根。
   • x²-4x-1=0 = (x²-4x+4)-4-1=0
   • (x²-4x+4)-4-1=0 = (x-2)²=5
   • x-2=±√5 = x=2±√5
   • 兩根為2+√5與2-√5
2. 對 y=x²-4x-1 畫圖，求最大值或最小值、兩根。
   • 
   • f(x)=(x-2)²-5 將x設為2的話 f(2)=(2-2)²-5 = 0-5 = -5 ，因此本函式最小值是-5，在x=2的地方。
3. 說明係數與圖形的關係。
   • 二次的圖形是拋物線，最高次係數為正的開口向上，最高次係數為負的開口向下。

題組四： 用鋁片做容量 125cm³之正方柱形罐頭，用什麼尺寸才可使材料最節省。

1. 設r為寬，h為高 r² * h=125 => h = 125 / r²
2. 表面積： f(r) = 2r² + 4r * 125 / r² = 2r² + 500 / r
3. 表面積微分：f'(r) = 4r - 500 / r² = (r³ - 125) / r²
4. (r³ - 125) / r² = 0 = r³ - 125
5. r=(125)^⅓=5
6. r=5，5² * h= 125 => 25 * h = 125 => h=5
7. 高為5，罐頭為正方形時會最省材料

題組五： 說明求導法則

1. 常數'=0 常數微分等於零
2. (Cf(x))'=Cf'(x) 常係數可提出
3. (fg)'=f'*g+f*g' 前不導後導，後不導前導
4. dy/dx = (dy/dz)(dz/dx) 分子分母同乘d(g(x))