貝茲曲線:修訂版本之間的差異

出自六年制學程
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二次貝茲曲線
(一)先求控制點與最低點的 y 值關係
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將斜率設為 0 以解 t:
 
將斜率設為 0 以解 t:
 
:1−2t=0
 
:1−2t=0
:t=0.5
+
:t=<span style="font-stretch:condensed;">½</span>
將 t=0.5 代入 B<sub>y</sub>(t) ,我們得到:
+
將 t=<span style="font-stretch:condensed;">½ </span>代入 B<sub>y</sub>(t) ,我們得到:
:B<sub>y</sub>(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β
+
:B<sub>y</sub>(<span style="font-stretch:condensed;">½ </span>)=2β(<span style="font-stretch:condensed;">½ </span>)(<span style="font-stretch:condensed;">½ </span>)=<span style="font-stretch:condensed;">½ </span>β
因此,最低點的 y 值是 0.5β
+
因此,最低點的 y 值是 <span style="font-stretch:condensed;">½ </span>β
  
 
====(二)次求 x 值的關係:====
 
====(二)次求 x 值的關係:====

2023年9月18日 (一) 14:34的修訂版本

一次貝茲曲線

B(t)=P0+(P1-P0)t=(1-t)P0+tP1, t∈[0,1]

B(t)描述一條由P0至P1的直線。例如當t=0.25時,B(t)即一條由點P0至P1路徑的四分之一處。

等同於線性插值。

二次貝茲曲線

二次貝茲曲線的結構
二次貝茲曲線演示
t在[0,1]區間

重點:

  1. 二次貝茲曲線畫出的是拋物線,無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
  2. 所有拋物線都「相似」(不是相等),且所有曲率(0~∞)的微線段都有。
  3. 兩端點外只有一個控制點。
  4. 拋物線方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 則 b2 - 4ac=0 ,即前三項為完全平方式。

二次貝茲曲線的參數方程為:

B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2, t∈[0,1]

將弦水平放置後,其中:

  1. t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
  2. P0 是起點,座標設為 (0,0)
  3. P1 是控制點,座標設為 (α,β)
  4. P2 是終點,座標設為 (ɭ,0)

圖形為:

我們讓起迄點水平排列,並準備由控制點座標(α,β),求出最低點座標(a,b)

為了找到最大和最小的 y 值,我們可以對 y 的方程進行微分,並將其設為 0 以找到可能的極值。

(一)先求控制點與最低點的 y 值關係

將控制點的 y 值代入 By(t) 的方程式,我們得到:

By(t)=(1−t)2×0+2(1−t)t×β+t2×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t2)

對其進行微分:

By′(t)=2β(1-2t)

將斜率設為 0 以解 t:

1−2t=0
t=½

將 t=½ 代入 By(t) ,我們得到:

By(½ )=2β(½ )(½ )=½ β

因此,最低點的 y 值是 ½ β 。

(二)次求 x 值的關係:

起迄點水平排列時, y 的極值均在 t=0.5 處

由上一段推理得到 b=½ β,此時 t=0.5 。

B(t)=(1−t)2×P0+2(1−t)t×P1+t2×P2

Bx(0.5)=2(0.5)(0.5)α+0.25ɭ=½ α+¼ ɭ=a

(三)求端點的切線斜率

切線斜率為 By′(t) / Bx′(t) = 2β(1-2t) / 2α+2(ɭ-2α)t = β(1-2t) / α+(ɭ-2α)t

當 t=0 ,斜率為 β / α ,恰為 P1P0 的斜率

當 t=1 ,斜率為 -β / ɭ-α,恰為 P1P2 的斜率

(四)總結

所以有:

  1. Q=½ (P+P1) ,P,Q,P1,三點共線,且 Q 為 PP1 的中點。
  2. P1P0, P1P2 分別切二次貝茲曲線 P0QP2 於 P0, P2

一、圖形最低點與控制點的關係

Q or q
(quadratic
Bézier
curve)
x1 y1 x y

<path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
<path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/>
從目前點的座標畫條
二次貝茲曲線到指定
點的 x,y 座標:其中
x1,y1 為控制點

參考

  1. 二元二次方程式圖形判別的例題
    ---------- 擬合圓 ----------
  2. How to create circle with Bézier curves?
  3. 如何使用Bézier曲線創建圓?
  4. 用三阶贝塞尔曲线拟合圆

參考文章