貝茲曲線
目錄
一次貝茲曲線
B(t)＝P0＋(P1－P0)t＝(1-t)P0＋tP1, t∈[0,1]
B(t)描述一條由P0至P1的直線。例如當t=0.25時，B(t)即一條由點P0至P1路徑的四分之一處。
等同於線性插值。
二次貝茲曲線
 |
|---|
| 二次貝茲曲線的結構 |
 |
| 二次貝茲曲線演示 t在[0,1]區間 |
重點：
- 二次貝茲曲線畫出的是拋物線，無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
- 所有拋物線都「相似」(不是相等)，且所有曲率(0~∞)的微線段都有。
- 兩端點外只有一個控制點。
- 拋物線方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 則 b2 - 4ac=0 ，即前三項為完全平方式。
由二次貝茲曲線參數方程推導出四性質
- 二次貝茲曲線圖形(以下簡稱圖形)是拋物線的一段。
- t=½ 時弦與圖形垂直距離最大，圖形此處稱為頂點。
- 弦的中點、頂點、控制點三點共線，且頂點為弦中點與控制點的中點。
- 控制點與弦的兩端點連線分別切圖形於兩端點。
二次貝茲曲線的參數方程為：
B(t)＝(1−t)2×P0＋2(1−t)t×P1＋t2×P2, t∈[0,1]
將弦水平放置後，其中：
- t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
- P0 是起點，座標設為 (0,0)
- P1 是控制點，座標設為 (α,β)
- P2 是終點，座標設為 (ɭ,0)
圖形為：
我們讓起迄點水平排列，並準備由控制點座標(α,β)，求出最低點座標(a,b)。
為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。
(一)先求控制點與最低點的 y 值關係
將控制點的 y 值代入 By(t) 的方程式，我們得到：
- By(t)＝(1−t)2×0＋2(1−t)t×β＋t2×0＝2β×t(1−t)＝2β×(t−t2)
對其進行微分：
- By′(t)=2β(1-2t)
將斜率設為 0 以解 t：
- 1−2t=0
- t=½
將 t=½ 代入 By(t) ，我們得到：
- By(½)=2β(½)(½)=½ β
因此，最低點的 y 值是 ½ β 。
(二)次求控制點與最低點的 x 值關係：
起迄點水平排列時， y 的極值均在 t=½ 處。
由上一段推理得到 b=½ β，此時 t=½ 。
B(t)＝(1−t)2×P0＋2(1−t)t×P1＋t2×P2, t∈[0,1]
Bx(½)＝2(½)(½)α＋(½)(½)ɭ＝½ α＋¼ ɭ＝a
結合上段，可以發現弦的中點、頂點(最低點)、控制點三點共線，且頂點為弦中點與控制點的中點。
(三)求端點的切線斜率
切線斜率為 By′(t) / Bx′(t)＝2β(1-2t) / 2α+2(ɭ-2α)t＝β(1-2t) / α+(ɭ-2α)t
當 t=0 ，斜率為 β / α ，恰為 P1P0 的斜率
當 t=1 ，斜率為 -β / ɭ-α，恰為 P1P2 的斜率
(四)二次貝茲曲線的圖形是拋物線
將起點、迄點、控制點的座標一般化：
- P0 座標 (x0,y0)
- P1 座標 (α,β)
- P2 座標 (x2,y2)
By(t)＝(1−t)2×y0＋2(1−t)t×β＋t2×y2＝y0＋2(β-y0)t＋(y0-2β+y2)t2
- 由於 By(t)＝mt2＋nt＋ɭ 的形式，所以 By(t) 對 t 是一拋物線方程。
若 Bx(t) 為一線性函數，則 By(t) 對 x 也將是一拋物線方程。
- 若 Bx(t) 為一線性函數，則 (x-x0)=t×(x2-x0)
- 代入 By(t) 得到將為 m′x2＋n′x＋ɭ′ 的形式，也是拋物線方程。
(五)總結
所以有：
- t=½ 時弦對圖形垂直距離最大。
- Q=½ (P+P1) ，P,Q,P1，三點共線，且 Q 為 PP1 的中點。
- P1P0, P1P2 分別切二次貝茲曲線 P0QP2 於 P0, P2
- 二次貝茲曲線 P0QP2 為拋物線。
二次貝茲曲線在 SVG path 中的路徑表達語法
| Q or q (quadratic Bézier curve) |
x1 y1 x y <path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/> <path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/> |
從目前點的座標畫條 二次貝茲曲線到指定 點的 x,y 座標：其中 x1,y1 為控制點 |
|
三次貝茲曲線
 |
|---|
| 三次貝茲曲線的結構 |
 |
| 三次貝茲曲線演示 t在[0,1]區間 |
如右圖：P0、P1、P2、P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於P0(起點)，走向P1(控制點)，並從P2(控制點)的方向來到P3(迄點)。貝茲曲線不會經過P1或P2；這兩個點只是在那裡提供方向資訊，也叫「控制點」。
三次貝茲曲線的參數方程為：
B(t)＝(1−t)3×P0＋3(1−t)2t×P1＋3(1−t)t2×P2＋t3×P3 , t∈[0,1]
我們將弦水平放置後，令： P0 座標為 (0,0) ，P3 座標為 (ɭ,0) ，不須考慮 ɭ 大小，僅由兩個控制點對弦的垂直高度，即可找到貝茲曲線上對弦的最大垂直距離( y 的極值)；我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。
將弦水平放置後，其中：
- t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
- P0 是起點，座標設為 (0,0)
- P1,P2 是控制點，對弦的垂直距離分別為 h1,h2
- P3 是終點，座標設為 (ɭ,0)
(一)先求兩控制點與最低點的 y 值關係
將控制點的 y 值代入 By(t) 的方程式，我們得到：
- By(t)＝(1−t)3×0＋3(1−t)2t×h1＋3(1−t)t2×h2＋t3×0＝3×t(1−t)[h1-h1t+h2t]
- ＝3×t(1−t)[h1＋(h2−h1)t]＝3×[h1t＋(h2−2h1)t2＋(h1−h2)t3]
對其進行微分：
- By′(t)＝3[h1＋2(h2-2h1)t＋3(h1-h2)t2]
將斜率設為 0 以解 t：
- t＝[2(2h1-h2)±√4(h22-4h1h2+4h22)-4×3(h1-h2)h1] / 2×3(h1-h2)
- ＝[(2h1-h2)±√h22-4h1h2+4h12-3h12+3h1h2] / 3(h1-h2)
- ＝[(2h1-h2)±√h12-h1h2+h22] / 3(h1-h2)
(二)特殊解：求兩控制點等高時
若 h1＝h2＝h
- By′(t)＝3[h＋2(-h)t]＝0
- h＋2(-h)t＝0 => h=2ht => t=½
By(½)＝3[½h-¼h]＝¾h
參考文章
- 貝茲曲線
- 連續平滑的貝塞爾曲線
- 二元二次方程式圖形判別的例題
---------- 擬合圓 (須四塊三次貝茲曲線組合，二次貝茲曲線要更多塊組合) ----------
