行列式解二元一次方程式

行列式

定義與求值

定義： ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc$

例如： ${\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5$

 
   
     
       
         
           |
           
             
               
                 2
               
               
                 3
               
             
             
               
                 1
               
               
                 4
               
             
           
           |
         
       
       =
       2
       ⋅
       4
       −
       3
       ⋅
       1
       =
       5
     
   
   {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5}

{\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5

用行列式解二元一次方程式

方程式組為： ${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}$

其解如下：

$x={\frac {\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}},\qquad y={\frac {\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}}$

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
       ,
       
       y
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}},\qquad y={\frac {\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}}}

x={\frac {\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}},\qquad y={\frac {\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}}

或是直接套公式：

$x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             
               c
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             −
             
               c
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             −
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}

x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

,

$y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               c
               
                 2
               
             
             −
             
               a
               
                 2
               
             
             
               c
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             −
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}

y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}

例：

${\begin{cases}2x+37y=2\\2x+119y=2\end{cases}}$

 
   
     
       
         
           {
           
             
               
                 2
                 x
                 +
                 37
                 y
                 =
                 2
               
             
             
               
                 2
                 x
                 +
                 119
                 y
                 =
                 2
               
             
           
           
         
       
     
   
   {\displaystyle {\begin{cases}2x+37y=2\\2x+119y=2\end{cases}}}

{\begin{cases}2x+37y=2\\2x+119y=2\end{cases}}

解： $x={\frac {2\times 119-2\times 37}{2\times 119-2\times 37}}={\frac {238-74}{238-74}}$

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             2
             ×
             119
             −
             2
             ×
             37
           
           
             2
             ×
             119
             −
             2
             ×
             37
           
         
       
       =
       
         
           
             238
             −
             74
           
           
             238
             −
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {2\times 119-2\times 37}{2\times 119-2\times 37}}={\frac {238-74}{238-74}}}

x={\frac {2\times 119-2\times 37}{2\times 119-2\times 37}}={\frac {238-74}{238-74}}

,

238－74=164, x = 1

$y={\frac {4-4}{238-74}}$

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             4
             −
             4
           
           
             238
             −
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {4-4}{238-74}}}

y={\frac {4-4}{238-74}}

4－4=0,238－74=164, y = 0

解題練習

傳統練習題

買賣問題

鉛筆一枝 13 元，原子筆一枝 35 元，森雄買了 x 枝鉛筆和 y 枝原子筆。他付了500 元，問可以找回多少元？
皮包的售價分成兩種：雙肩背的每個 300 元，斜背式的每個 250 元。媽媽共買了 10 個皮包，結帳時，店員將兩種價目看反了，結果使得媽媽多付了100 元。設雙肩皮包買 x 個，斜背皮包買 y 個，依題意列出二元一次方程組。
美華的媽媽買水果，蓮霧一斤的價格是橘子一斤價格的 2 倍。若各買 10 斤，總價差 150 元，求蓮霧和橘子一斤的價格。
美華的媽媽買 80 元一斤的蓮霧和 15 元一斤的柳丁，一共買了 10 斤，且買蓮霧的錢比買柳丁的錢多40 元，求蓮霧和柳丁購買的斤數。
廷聰的爸爸帶了 800 元到市場買水果，如果他買 9 個蘋果、8 個芒果，則剩下 30 元；如果他買了 8 個蘋果、 10 個芒果，則剛好把錢用完。求蘋果和芒果的單價。
餐飲店販售的餐盒，有每個售價 50 元的排骨餐盒與每個 60 元的雞排餐盒兩種。某日，老闆賣了 280 個餐盒，共收款 13,500 元。老闆懷疑收款可能不對，你可以幫老闆解開他的疑惑嗎？
二位數問題
一個二位數的十位數字為 x ，個位數字為 y ，問此數如何用 x、y 來表示？
設 x、y 是整數，且是方程式 3x＋2y＝100 的解，若 x 大於 20，且小於 30 ，則（x, y）共有幾組解？
已知一個二位數的十位數字與個位數字的和為8，且個位數字和十位數字調換後比原數大36。試依題意列出二元一次聯立方程式。
一個二位數的十位數字為 x，個位數字為 y，將 x、y 調換後，所得的新數比原數小36，請依題意列出二元一次方程式。
航行問題
一船在河中航行，該船在靜水中的時速加上水流的時速稱為該船的順流時速，靜水中的時速減水流的時速稱為逆流時速。若該船的順流時速為 12 公里，逆流時速為 8 公里。設船在靜水中的時速為 x 公里，水流時速為 y 公里，請依題意列出二元一次聯立方程式。
一艘船在河中行駛，已知其順流時速為 14 公里，逆流時速為 10 公里，則水流時速以及船在靜水中的時速各為每小時多少公里？
甲、乙兩船行駛在河中，若甲船在靜水的時速為 70 公里，且其順流時速是乙船順流時速的 2 倍，逆流時速是乙船逆流時速的 3 倍，求乙船在靜水中的時速，以及河水每小時的流速。
跑步問題
甲乙兩人跑步，甲每分鐘跑 x 公尺，乙每分鐘跑 y 公尺。若甲在 5 分鐘內比乙多跑 200 公尺，請依題意列出二元一次方程式。
甲、乙比賽跑步，甲的速度是乙的 1.5 倍。若乙先跑 100 公尺，甲再開始追趕，1 分鐘後甲超前乙 20 公尺，求甲、乙兩人每秒各跑多少公尺？
其他問題
協力車出租店有 x 輛的雙人協力車， y 輛三人協力車，問這些協力車最多可供多少人騎乘？
某次海底地震引起的海嘯，以每小時 600 公里的速度移動。若某一海島離地震中心 x 公里，若 y 小時後海嘯尚未抵達此海島，這時海嘯離此海島有多遠？
姊姊與妹妹各有數張大頭貼。已知妹妹給姊姊 10 張後，姊姊的張數就是妹妹的 2 倍；若姊姊給妹妹 10 張，兩人的張數就一樣多。設姊姊的張數為x張，妹妹的張數為y 張，依題意列出二元一次方程組。
50 人參加測驗，解甲、乙兩題。結果每個人至少答對一題，同時答對甲、乙兩題的有 16 人。已知答對甲題的人數比答對乙題的多 22 人。問答對甲題的有幾人？答對乙題的有幾人？
有一個周長為 140 公分的白色長方形，現若把長邊加長10 公分，寬邊加長 6 公分，所得的新長方形，其面積會增加 600 平方公分，求原長方形的面積。

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