行列式解二元一次方程式

出自六年制學程
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行列式

定義與求值

定義:

例如:

 
   
     
       
         
           |
           
             
               
                 2
               
               
                 3
               
             
             
               
                 1
               
               
                 4
               
             
           
           |
         
       
       =
       2
       
       4
       
       3
       
       1
       =
       5
     
   
   {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5}
 

用行列式解二元一次方程式

方程式組為:

其解如下:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
       ,
       
       y
       =
       
         
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       c
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
           
             |
             
               
                 
                   
                     
                       a
                       
                         1
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         1
                       
                     
                   
                 
                 
                   
                     
                       a
                       
                         2
                       
                     
                   
                   
                     
                       b
                       
                         2
                       
                     
                   
                 
               
             
             |
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {\left|{\begin{matrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}},\qquad y={\frac {\left|{\begin{matrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{matrix}}\right|}}}
 

或是直接套公式:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             
               c
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               c
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}
 

,

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               c
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               c
               
                 1
               
             
           
           
             
               a
               
                 1
               
             
             
               b
               
                 2
               
             
             
             
               a
               
                 2
               
             
             
               b
               
                 1
               
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}}
 

例:

 
   
     
       
         
           {
           
             
               
                 2
                 x
                 +
                 37
                 y
                 =
                 2
               
             
             
               
                 2
                 x
                 +
                 119
                 y
                 =
                 2
               
             
           
           
         
       
     
   
   {\displaystyle {\begin{cases}2x+37y=2\\2x+119y=2\end{cases}}}
 

解:

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             2
             ×
             119
             
             2
             ×
             37
           
           
             2
             ×
             119
             
             2
             ×
             37
           
         
       
       =
       
         
           
             238
             
             74
           
           
             238
             
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {2\times 119-2\times 37}{2\times 119-2\times 37}}={\frac {238-74}{238-74}}}
 

,

238-74=164, x = 1

 
   
     
       y
       =
       
         
           
             4
             
             4
           
           
             238
             
             74
           
         
       
     
   
   {\displaystyle y={\frac {4-4}{238-74}}}
 

4-4=0,238-74=164, y = 0

解題練習

傳統練習題

買賣問題
  1. 鉛筆一枝 13 元,原子筆一枝 35 元,森雄買了 x 枝鉛筆和 y 枝原子筆。他付了500 元,問可以找回多少元?
  2. 皮包的售價分成兩種:雙肩背的每個 300 元,斜背式的每個 250 元。媽媽共買了 10 個皮包,結帳時,店員將兩種價目看反了,結果使得媽媽多付了100 元。設雙肩皮包買 x 個,斜背皮包買 y 個,依題意列出二元一次方程組。
  3. 美華的媽媽買水果,蓮霧一斤的價格是橘子一斤價格的 2 倍。若各買 10 斤,總價差 150 元,求蓮霧和橘子一斤的價格。
  4. 美華的媽媽買 80 元一斤的蓮霧和 15 元一斤的柳丁,一共買了 10 斤,且買蓮霧的錢比買柳丁的錢多40 元,求蓮霧和柳丁購買的斤數。
  5. 廷聰的爸爸帶了 800 元到市場買水果,如果他買 9 個蘋果、8 個芒果,則剩下 30 元;如果他買了 8 個蘋果、 10 個芒果,則剛好把錢用完。求蘋果和芒果的單價。
  6. 餐飲店販售的餐盒,有每個售價 50 元的排骨餐盒與每個 60 元的雞排餐盒兩種。某日,老闆賣了 280 個餐盒,共收款 13,500 元。老闆懷疑收款可能不對,你可以幫老闆解開他的疑惑嗎?
    二位數問題
  7. 一個二位數的十位數字為 x ,個位數字為 y ,問此數如何用 x、y 來表示?
  8. 設 x、y 是整數,且是方程式 3x+2y=100 的解,若 x 大於 20,且小於 30 ,則(x, y)共有幾組解?
  9. 已知一個二位數的十位數字與個位數字的和為8,且個位數字和十位數字調換後比原數大36。試依題意列出二元一次聯立方程式。
  10. 一個二位數的十位數字為 x,個位數字為 y,將 x、y 調換後,所得的新數比原數小36,請依題意列出二元一次方程式。
    航行問題
  11. 一船在河中航行,該船在靜水中的時速加上水流的時速稱為該船的順流時速,靜水中的時速減水流的時速稱為逆流時速。若該船的順流時速為 12 公里,逆流時速為 8 公里。設船在靜水中的時速為 x 公里,水流時速為 y 公里,請依題意列出二元一次聯立方程式。
  12. 一艘船在河中行駛,已知其順流時速為 14 公里,逆流時速為 10 公里,則水流時速以及船在靜水中的時速各為每小時多少公里?
  13. 甲、乙兩船行駛在河中,若甲船在靜水的時速為 70 公里,且其順流時速是乙船順流時速的 2 倍,逆流時速是乙船逆流時速的 3 倍,求乙船在靜水中的時速,以及河水每小時的流速。
    跑步問題
  14. 甲乙兩人跑步,甲每分鐘跑 x 公尺,乙每分鐘跑 y 公尺。若甲在 5 分鐘內比乙多跑 200 公尺,請依題意列出二元一次方程式。
  15. 甲、乙比賽跑步,甲的速度是乙的 1.5 倍。若乙先跑 100 公尺,甲再開始追趕,1 分鐘後甲超前乙 20 公尺,求甲、乙兩人每秒各跑多少公尺?
    其他問題
  16. 協力車出租店有 x 輛的雙人協力車, y 輛三人協力車,問這些協力車最多可供多少人騎乘?
  17. 某次海底地震引起的海嘯,以每小時 600 公里的速度移動。若某一海島離地震中心 x 公里,若 y 小時後海嘯尚未抵達此海島,這時海嘯離此海島有多遠?
  18. 姊姊與妹妹各有數張大頭貼。已知妹妹給姊姊 10 張後,姊姊的張數就是妹妹的 2 倍;若姊姊給妹妹 10 張,兩人的張數就一樣多。設姊姊的張數為x張,妹妹的張數為y 張,依題意列出二元一次方程組。
  19. 50 人參加測驗,解甲、乙兩題。結果每個人至少答對一題,同時答對甲、乙兩題的有 16 人。已知答對甲題的人數比答對乙題的多 22 人。問答對甲題的有幾人?答對乙題的有幾人?
  20. 有一個周長為 140 公分的白色長方形,現若把長邊加長10 公分,寬邊加長 6 公分,所得的新長方形,其面積會增加 600 平方公分,求原長方形的面積。

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