貝茲曲線：修訂版本之間的差異

2023年9月16日 (六) 14:55的修訂版本

二次貝茲曲線

1. 二次貝茲曲線畫出的是拋物線，無法畫出橢圓和雙曲線。故無法畫出正圓。
2. 所有拋物線都「相似」(不是相等)，且所有曲率(0~infin)的微線段都有。
3. 兩端點外只有一個控制點。
4. 拋物線方程式 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 則 b² - 4ac=0 ，即前三項為完全平方式。

參考

1. 二元二次方程式圖形判別的例題
   ---------- 擬合圓 ----------
2. How to create circle with Bézier curves?
3. 如何使用Bézier曲線創建圓？
4. 用三阶贝塞尔曲线拟合圆

一、圖形最低點與控制點的關係

Q or q (quadratic Bézier curve)

x1 y1 x y <path d='M0,0 Q50,50 100,0' style='stroke:black'/> <path d='m0,0 q50,50 100,0' style='stroke:black'/>

從目前點的座標畫條 二次貝茲曲線到指定 點的 x,y 座標：其中 x1,y1 為控制點

二次貝茲曲線的參數方程為：

B(t)=(1−t)²×P₀+2(1−t)t×P₁+t²×P₂

其中：

1. t 是一個介於 0 到 1 之間的參數
2. P₀ 是起點
3. P₁ 是控制點
4. P₂ 是終點

為了找到最大和最小的 y 值，我們可以對 y 的方程進行微分，並將其設為 0 以找到可能的極值。

給定的點是：

P₀=(0,0)

P₁=(α,β)

P₂=(ɭ,0)

它們代入 y 的方程，我們得到：

y(t)=(1−t)²×0+2(1−t)t×β+t²×0=2β×t(1−t)=2β×(t−t²)

對其進行微分：

y′(t)=2β(1-2t)

將斜率設為 0 以解 t：

1−2t=0

t=0.5

將 t=0.5 代入 y(t) ，我們得到：

y(0.5)=2β(0.5)(0.5)=0.5β

因此，最低點的 y 值是 0.5β，最高點因為在端點上，所以是 0 。

一般化：

由於起迄點水平排列， y 的極值均在 t=0.5 處

起迄點水平排列，由控制點座標(α,β)求最低點座標(a,b)：

由上一段推理得到 b=½ β，此時 t=0.5 。

B(t)=(1−t)²×P₀+2(1−t)t×P₁+t²×P₂

B_x(0.5)=2(0.5)(0.5)α+0.25ɭ=½ α+¼ ɭ=a

所以有 Q=½ (P+P₁) ，P,Q,P₁，三點共線，且 Q 為 PP₁ 的中點。

參考文章

• 貝茲曲線
• 連續平滑的貝塞爾曲線