根號

請前往維基教科書「根號」頁

基本說明

注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。

• a代表某數，[math]\sqrt{a}[/math]是什麼意思呢？就是[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}=a[/math]，變成規則就有：
  1. 根號a乘以根號a等於a，[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}=a[/math]
  2. 根號a平方等於a，[math]\sqrt{a}^2=a[/math]
  3. 根號a的平方等於a，[math]\sqrt{a^2}=a[/math]
  4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，[math]a=\sqrt{a}*\sqrt{a}=\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}[/math]
  5. 以[math]\sqrt{2}[/math]為例，以下四個數均相等：[math]2=\sqrt{2}*\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=\sqrt{2^2}[/math]
• 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：[math]\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}[/math]，[math]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/math]但[math]\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}[/math]，[math]\sqrt{a-b}\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}[/math]
  1. 以4和1為例，[math]\sqrt{4*1}=\sqrt{4}*\sqrt{1}[/math]，[math]\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}[/math]但[math]\sqrt{4+1}\neq\sqrt{4}+\sqrt{1}[/math]，[math]\sqrt{4-1}\neq\sqrt{4}-\sqrt{1}[/math]

由基本練習理解根號

一、平方，求下列各數的值：

平方是自己乘以自己，a²=a*a

1²=　　2²=　　3²=　　4²=　　5²=　　6²=　　7²=　　8²=　　9²=　　10²=　　11²=　　12²=　　0.7²=　　(1.2)²=　　[math](\frac{1}{2})^2=[/math]　　[math]\left(\frac{1}{3}\right)^2=[/math]　　 [math]\left(\frac{2}{3}\right)^2=[/math]　　

二、根號(開方)，求下列各數的值：

(一)、從[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}[/math]開始

[math]\sqrt{1}*\sqrt{1}[/math]=　[math]\sqrt{2}*\sqrt{2}[/math]=　[math]\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]=　　[math]\sqrt{4}*\sqrt{4}[/math]=　[math]\sqrt{5}*\sqrt{5}[/math]=　　[math]\sqrt{6}*\sqrt{6}[/math]=　　[math]\sqrt{7}*\sqrt{7}[/math]=　 [math]\sqrt{8}*\sqrt{8}[/math]=　　[math]\sqrt{9}*\sqrt{9}[/math]=　[math]\sqrt{10}*\sqrt{10}[/math]=

(二)、從[math]\sqrt{a}^2[/math]開始

[math]\sqrt{1}^2[/math]=　　[math]\sqrt{2}^2[/math]=　　[math]\sqrt{3}^2[/math]=　　[math]\sqrt{4}^2[/math]= 　[math]\sqrt{5}^2[/math]=　　[math]\sqrt{6}^2[/math]=　　[math]\sqrt{7}^2[/math]=　　[math]\sqrt{8}^2[/math]=　　[math]\sqrt{9}^2[/math]=　　[math]\sqrt{10}^2[/math]=　　

(三)、從 a 開始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

(四)、從[math]\sqrt{a^2}[/math]開始

[math]\sqrt{1^2}[/math]=　　[math]\sqrt{2^2}[/math]=　　[math]\sqrt{3^2}[/math]=　　[math]\sqrt{4^2}[/math]=　　[math]\sqrt{5^2}[/math]=　　[math]\sqrt{6^2}[/math]=　　[math]\sqrt{7^2}[/math]=　　[math]\sqrt{8^2}[/math]=　　[math]\sqrt{9^2}[/math]=　　[math]\sqrt{10^2}[/math]=　　

(五)、從[math]\sqrt{a^2}[/math]開始

[math]\sqrt{1}[/math]=　　[math]\sqrt{4}[/math]=　　[math]\sqrt{9}[/math]=　　[math]\sqrt{16}[/math]=　　[math]\sqrt{25}[/math]=　　[math]\sqrt{36}[/math]=　　[math]\sqrt{49}[/math]=　　[math]\sqrt{64}[/math]=　　[math]\sqrt{81}[/math]=　　[math]\sqrt{100}[/math]=　　[math]\sqrt{169}[/math]=　　

三、畢氏定理

直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為： a²+b²=c²，請圖解：(切記不是 a+b=c)

四、根號求值

• [math]\sqrt{1}=1[/math]
• [math]\sqrt{2}[/math]
  1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+1²=c²，所以c²=2，c=[math]\sqrt{2}[/math](參見第二段)
  2. 用尺量，[math]\sqrt{2}[/math]約等於 1.4 公分。
  3. 由於[math]\sqrt{2}^2=2[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{2}[/math]的近似值為 1.414
• [math]\sqrt{3}[/math]
  1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=2²，所以b²=3，b=[math]\sqrt{3}[/math](參見第二段)
  2. 用尺量，[math]\sqrt{3}[/math]約等於 1.7 公分。
  3. 由於[math]\sqrt{3}^2=3[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{3}[/math]的近似值為 1.732
• [math]\sqrt{4}=2[/math]
• [math]\sqrt{5}[/math]
  1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+2²=c²，所以c²=5，c=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
  2. 用尺量，[math]\sqrt{5}[/math]約等於 2.2 公分。
  3. 由於[math]\sqrt{5}^2=5[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{5}[/math]的近似值為 2.236
  4. 也可以作短股 [math]\sqrt{2}[/math] 公分、長股 [math]\sqrt{3}[/math] 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：[math]\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2=c^2[/math]，所以c²=5，c=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
  5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+b²=3²，所以b²=5，b=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
• [math]\sqrt{6}[/math]
  1. [math]\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}[/math]，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
     • 左邊平方[math]\sqrt{6}^2=6=2*3=\sqrt{2}^2*\sqrt{3}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]
     • 右邊平方[math]\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)*\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]
  2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{5}[/math]；再作短股 1 公分長股[math]\sqrt{5}[/math]公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{6}[/math]。
  3. 第一種求近似值的方法，量[math]\sqrt{6}[/math]約為 2.4 ，再利用[math]\sqrt{6}^2=6[/math]，求得近似值 2.449 。
  4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414([math]\sqrt{2}[/math]的近似值) 乘以 1.732([math]\sqrt{3}[/math]的近似值) ，即得 2.449 ([math]\sqrt{6}[/math]的近似值) 。
  5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
• [math]\sqrt{7}[/math]
  1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為[math]\sqrt{3}[/math]；再作短股 [math]\sqrt{3}[/math] 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{7}[/math]。
  2. 求近似值的方法，量[math]\sqrt{7}[/math]約為 2.6 ，再利用[math]\sqrt{7}^2=7[/math]，求得近似值 2.646 。
• [math]\sqrt{8}[/math]
  1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2²+2²=c²，所以c²=8，c=[math]\sqrt{8}[/math](參見第二段)
  2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1²+b²=3²，所以b²=8，b=[math]\sqrt{8}[/math](參見第二段)
  3. 第一種求近似值的方法，量[math]\sqrt{8}[/math]約為 2.8 ，再利用[math]\sqrt{8}^2=8[/math]，求得近似值 2.828 。
  4. 第二種求近似值的方法，[math]\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}[/math]直接拿 2 乘以 1.414([math]\sqrt{2}[/math]的近似值)，即得 2.828 ([math]\sqrt{8}[/math]的近似值) 。
• [math]\sqrt{9}=3[/math]
• [math]\sqrt{10}[/math]
  1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1²+3²=c²，所以c²=10，c=[math]\sqrt{10}[/math](參見第二段)
  2. 用尺量，[math]\sqrt{10}[/math]約等於 3.2 公分。
  3. 由於[math]\sqrt{10}^2=10[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{10}[/math]的近似值為 3.162