「根號」修訂間的差異

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===基本說明===
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注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。
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*a代表某數，<math>\sqrt{a}</math>是什麼意思呢？就是<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}=a</math>，變成規則就有：
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*#根號a乘以根號a等於a，<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}=a</math>
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*#根號a平方等於a，<math>\sqrt{a}^2=a</math>
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*#根號a的平方等於a，<math>\sqrt{a^2}=a</math>
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*#a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，<math>a=\sqrt{a}*\sqrt{a}=\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}</math>
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*#以<math>\sqrt{2}</math>為例，以下四個數均相等：<math>2=\sqrt{2}*\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=\sqrt{2^2}</math>
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*根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：<math>\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}</math>，<math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}</math>但<math>\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>，<math>\sqrt{a-b}\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}</math>
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*#以4和1為例，<math>\sqrt{4*1}=\sqrt{4}*\sqrt{1}</math>，<math>\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}</math>但<math>\sqrt{4+1}\neq\sqrt{4}+\sqrt{1}</math>，<math>\sqrt{4-1}\neq\sqrt{4}-\sqrt{1}</math>
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==由基本練習理解根號==
  
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<math>E=mc^2</math><br/><br/>
 
 
===一、平方，求下列各數的值：===
 
===一、平方，求下列各數的值：===
 
平方是自己乘以自己，a<sup>2</sup>=a*a
 
平方是自己乘以自己，a<sup>2</sup>=a*a
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===二、根號(開方)，求下列各數的值：===
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====(一)、從<math>\sqrt{a}*\sqrt{a}</math>開始====
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====(二)、從<math>\sqrt{a}^2</math>開始====
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====(三)、從 a 開始====
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1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　
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====(四)、從<math>\sqrt{a^2}</math>開始====
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<math>\sqrt{1^2}</math>=　　<math>\sqrt{2^2}</math>=　　<math>\sqrt{3^2}</math>=　　<math>\sqrt{4^2}</math>=　　<math>\sqrt{5^2}</math>=　　<math>\sqrt{6^2}</math>=　　<math>\sqrt{7^2}</math>=　　<math>\sqrt{8^2}</math>=　　<math>\sqrt{9^2}</math>=　　<math>\sqrt{10^2}</math>=　　
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====(五)、從<math>\sqrt{a^2}</math>開始====
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===三、畢氏定理===
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直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為：
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a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，請圖解：(切記不是 a+b=c)
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===四、根號求值===
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*<math>\sqrt{1}=1</math>
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*<math>\sqrt{2}</math>
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*#作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=2，c=<math>\sqrt{2}</math>(參見第二段)
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*#用尺量，<math>\sqrt{2}</math>約等於 1.4 公分。
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*#由於<math>\sqrt{2}^2=2</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{2}</math>的近似值為 1.414
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*<math>\sqrt{3}</math>
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*#作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=2<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=3，b=<math>\sqrt{3}</math>(參見第二段)
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*#用尺量，<math>\sqrt{3}</math>約等於 1.7 公分。
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*#由於<math>\sqrt{3}^2=3</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{3}</math>的近似值為 1.732
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*<math>\sqrt{4}=2</math>
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*<math>\sqrt{5}</math>
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*#作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
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*#用尺量，<math>\sqrt{5}</math>約等於 2.2 公分。
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*#由於<math>\sqrt{5}^2=5</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{5}</math>的近似值為 2.236
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*#也可以作短股 <math>\sqrt{2}</math> 公分、長股 <math>\sqrt{3}</math> 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：<math>\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2=c^2</math>，所以c<sup>2</sup>=5，c=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
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*#也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=5，b=<math>\sqrt{5}</math>(參見第二段)
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*<math>\sqrt{6}</math>
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*#<math>\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}</math>，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
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*#*左邊平方<math>\sqrt{6}^2=6=2*3=\sqrt{2}^2*\sqrt{3}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
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*#*右邊平方<math>\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)*\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}</math>
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*#以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{5}</math>；再作短股 1 公分長股<math>\sqrt{5}</math>公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{6}</math>。
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*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{6}</math>約為 2.4 ，再利用<math>\sqrt{6}^2=6</math>，求得近似值 2.449 。
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*#第二種求近似值的方法，直接拿 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值) 乘以 1.732(<math>\sqrt{3}</math>的近似值) ，即得 2.449 (<math>\sqrt{6}</math>的近似值) 。
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*#對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
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*<math>\sqrt{7}</math>
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*#以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為<math>\sqrt{3}</math>；再作短股 <math>\sqrt{3}</math> 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為<math>\sqrt{7}</math>。
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*#求近似值的方法，量<math>\sqrt{7}</math>約為 2.6 ，再利用<math>\sqrt{7}^2=7</math>，求得近似值 2.646 。
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*<math>\sqrt{8}</math>
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*#作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：2<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=8，c=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
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*#作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=3<sup>2</sup>，所以b<sup>2</sup>=8，b=<math>\sqrt{8}</math>(參見第二段)
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*#第一種求近似值的方法，量<math>\sqrt{8}</math>約為 2.8 ，再利用<math>\sqrt{8}^2=8</math>，求得近似值 2.828 。
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*#第二種求近似值的方法，<math>\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}</math>直接拿 2 乘以 1.414(<math>\sqrt{2}</math>的近似值)，即得 2.828 (<math>\sqrt{8}</math>的近似值) 。
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*<math>\sqrt{9}=3</math>
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*<math>\sqrt{10}</math>
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*#作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：1<sup>2</sup>+3<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>，所以c<sup>2</sup>=10，c=<math>\sqrt{10}</math>(參見第二段)
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*#用尺量，<math>\sqrt{10}</math>約等於 3.2 公分。
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*#由於<math>\sqrt{10}^2=10</math>，所以一位一位求下去，可以得<math>\sqrt{10}</math>的近似值為 3.162

於 2026年2月18日 (三) 09:55 的最新修訂

請前往維基教科書「根號」頁

基本說明

注意：本文用「*」表示乘號，代替小學時期用的「×」，因為「×」容易和「x」混淆。

  • a代表某數，[math]\sqrt{a}[/math]是什麼意思呢？就是[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}=a[/math]，變成規則就有：
    1. 根號a乘以根號a等於a，[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}=a[/math]
    2. 根號a平方等於a，[math]\sqrt{a}^2=a[/math]
    3. 根號a的平方等於a，[math]\sqrt{a^2}=a[/math]
    4. a等於根號a乘以根號a，也等於根號a平方，再等於根號a的平方，[math]a=\sqrt{a}*\sqrt{a}=\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}[/math]
    5. 以[math]\sqrt{2}[/math]為例，以下四個數均相等：[math]2=\sqrt{2}*\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=\sqrt{2^2}[/math]
  • 根號這種運算，乘、除可以拆離、合併，加、減不能拆離、合併。即：[math]\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}[/math]，[math]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}[/math]但[math]\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}[/math]，[math]\sqrt{a-b}\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}[/math]
    1. 以4和1為例，[math]\sqrt{4*1}=\sqrt{4}*\sqrt{1}[/math]，[math]\sqrt{\frac{4}{1}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}}[/math]但[math]\sqrt{4+1}\neq\sqrt{4}+\sqrt{1}[/math]，[math]\sqrt{4-1}\neq\sqrt{4}-\sqrt{1}[/math]

由基本練習理解根號

一、平方，求下列各數的值：

平方是自己乘以自己，a2=a*a

12=　　22=　　32=　　42=　　52=　　62=　　72=　　82=　　92=　　102=　　112=　　122=　　0.72=　　(1.2)2=　　[math](\frac{1}{2})^2=[/math]　　[math]\left(\frac{1}{3}\right)^2=[/math]　　 [math]\left(\frac{2}{3}\right)^2=[/math]　　

二、根號(開方)，求下列各數的值：

(一)、從[math]\sqrt{a}*\sqrt{a}[/math]開始

[math]\sqrt{1}*\sqrt{1}[/math]=　[math]\sqrt{2}*\sqrt{2}[/math]=　[math]\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]=　　[math]\sqrt{4}*\sqrt{4}[/math]=　[math]\sqrt{5}*\sqrt{5}[/math]=　　[math]\sqrt{6}*\sqrt{6}[/math]=　　[math]\sqrt{7}*\sqrt{7}[/math]=　 [math]\sqrt{8}*\sqrt{8}[/math]=　　[math]\sqrt{9}*\sqrt{9}[/math]=　[math]\sqrt{10}*\sqrt{10}[/math]=

(二)、從[math]\sqrt{a}^2[/math]開始

[math]\sqrt{1}^2[/math]=　　[math]\sqrt{2}^2[/math]=　　[math]\sqrt{3}^2[/math]=　　[math]\sqrt{4}^2[/math]= 　[math]\sqrt{5}^2[/math]=　　[math]\sqrt{6}^2[/math]=　　[math]\sqrt{7}^2[/math]=　　[math]\sqrt{8}^2[/math]=　　[math]\sqrt{9}^2[/math]=　　[math]\sqrt{10}^2[/math]=　　

(三)、從 a 開始

1=1　　2=4　　3=9　　4=16　　5=25　　6=36　　7=49　　8=64　　9=81　　10=100　　

(四)、從[math]\sqrt{a^2}[/math]開始

[math]\sqrt{1^2}[/math]=　　[math]\sqrt{2^2}[/math]=　　[math]\sqrt{3^2}[/math]=　　[math]\sqrt{4^2}[/math]=　　[math]\sqrt{5^2}[/math]=　　[math]\sqrt{6^2}[/math]=　　[math]\sqrt{7^2}[/math]=　　[math]\sqrt{8^2}[/math]=　　[math]\sqrt{9^2}[/math]=　　[math]\sqrt{10^2}[/math]=　　

(五)、從[math]\sqrt{a^2}[/math]開始

[math]\sqrt{1}[/math]=　　[math]\sqrt{4}[/math]=　　[math]\sqrt{9}[/math]=　　[math]\sqrt{16}[/math]=　　[math]\sqrt{25}[/math]=　　[math]\sqrt{36}[/math]=　　[math]\sqrt{49}[/math]=　　[math]\sqrt{64}[/math]=　　[math]\sqrt{81}[/math]=　　[math]\sqrt{100}[/math]=　　[math]\sqrt{169}[/math]=　　

三、畢氏定理

直角三角形，短股平方+長股平方=斜邊平方，一般表達為： a2+b2=c2，請圖解：(切記不是 a+b=c)

四、根號求值

  • [math]\sqrt{1}=1[/math]
  • [math]\sqrt{2}[/math]
    1. 作短股 1 公分、長股 1 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+12=c2，所以c2=2，c=[math]\sqrt{2}[/math](參見第二段)
    2. 用尺量，[math]\sqrt{2}[/math]約等於 1.4 公分。
    3. 由於[math]\sqrt{2}^2=2[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{2}[/math]的近似值為 1.414
  • [math]\sqrt{3}[/math]
    1. 作短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：12+b2=22，所以b2=3，b=[math]\sqrt{3}[/math](參見第二段)
    2. 用尺量，[math]\sqrt{3}[/math]約等於 1.7 公分。
    3. 由於[math]\sqrt{3}^2=3[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{3}[/math]的近似值為 1.732
  • [math]\sqrt{4}=2[/math]
  • [math]\sqrt{5}[/math]
    1. 作短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+22=c2，所以c2=5，c=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
    2. 用尺量，[math]\sqrt{5}[/math]約等於 2.2 公分。
    3. 由於[math]\sqrt{5}^2=5[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{5}[/math]的近似值為 2.236
    4. 也可以作短股 [math]\sqrt{2}[/math] 公分、長股 [math]\sqrt{3}[/math] 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：[math]\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2=c^2[/math]，所以c2=5，c=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
    5. 也可以作短股 2 公分、長股 b 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，依畢氏定理：22+b2=32，所以b2=5，b=[math]\sqrt{5}[/math](參見第二段)
  • [math]\sqrt{6}[/math]
    1. [math]\sqrt{6}=\sqrt{2}*\sqrt{3}[/math]，不信的話你兩邊都給它平方，看會不會相等：
      • 左邊平方[math]\sqrt{6}^2=6=2*3=\sqrt{2}^2*\sqrt{3}^2=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]
      • 右邊平方[math]\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)^2=\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)*\left(\sqrt{2}*\sqrt{3}\right)=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}[/math]
    2. 以短股 1 公分、長股 2 公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{5}[/math]；再作短股 1 公分長股[math]\sqrt{5}[/math]公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{6}[/math]。
    3. 第一種求近似值的方法，量[math]\sqrt{6}[/math]約為 2.4 ，再利用[math]\sqrt{6}^2=6[/math]，求得近似值 2.449 。
    4. 第二種求近似值的方法，直接拿 1.414([math]\sqrt{2}[/math]的近似值) 乘以 1.732([math]\sqrt{3}[/math]的近似值) ，即得 2.449 ([math]\sqrt{6}[/math]的近似值) 。
    5. 對根號來說，乘法可以拆離、合併，加法不能拆離、合併。
  • [math]\sqrt{7}[/math]
    1. 以短股 1 公分、斜邊 2 公分的直角三角形，長股為[math]\sqrt{3}[/math]；再作短股 [math]\sqrt{3}[/math] 公分長股 2 公分的直角三角形，斜邊為[math]\sqrt{7}[/math]。
    2. 求近似值的方法，量[math]\sqrt{7}[/math]約為 2.6 ，再利用[math]\sqrt{7}^2=7[/math]，求得近似值 2.646 。
  • [math]\sqrt{8}[/math]
    1. 作圖方法一：作短股 2 公分、長股 2 公分、斜邊 c 公分的直角三角形，依畢氏定理：22+22=c2，所以c2=8，c=[math]\sqrt{8}[/math](參見第二段)
    2. 作圖方法二：作短股 1 公分、斜邊 3 公分的直角三角形，長股為 b ，依畢氏定理：12+b2=32，所以b2=8，b=[math]\sqrt{8}[/math](參見第二段)
    3. 第一種求近似值的方法，量[math]\sqrt{8}[/math]約為 2.8 ，再利用[math]\sqrt{8}^2=8[/math]，求得近似值 2.828 。
    4. 第二種求近似值的方法，[math]\sqrt{8}=\sqrt{2*2*2}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}[/math]直接拿 2 乘以 1.414([math]\sqrt{2}[/math]的近似值)，即得 2.828 ([math]\sqrt{8}[/math]的近似值) 。
  • [math]\sqrt{9}=3[/math]
  • [math]\sqrt{10}[/math]
    1. 作短股 1 公分、長股 3 公分的直角三角形，斜邊為 c ，依畢氏定理：12+32=c2，所以c2=10，c=[math]\sqrt{10}[/math](參見第二段)
    2. 用尺量，[math]\sqrt{10}[/math]約等於 3.2 公分。
    3. 由於[math]\sqrt{10}^2=10[/math]，所以一位一位求下去，可以得[math]\sqrt{10}[/math]的近似值為 3.162
取自「http://jendo.org/wikiGrade1/index.php?title=根號&oldid=16135」