進階數學及科學

這是一份整合數學與科學的選修教案。

概述

課程目標

依同學的主題選擇，介紹該主題「底層」的數學與科學原理。
補充本班數學與科學課程需要加深加廣的部分。
引入國定課程欠缺的非線性數學部分。

內容

PhET
平面向量及其計算
相關的向量繪圖技能
函式
標準圓、sin、cos、波
極限
微積分
相對論時空

工具與學習資源

HTML中的「標準」數學符號
wiki中的數學公式
PhET首頁，按「Play with Simulations」按鈕會到達各科列表

PhET各科列表

例子：gas-properties_zh_TW
教育部數位教學資源入口網/進階蒐尋：例如，以「盤古大陸」蒐尋「flash」得到「isp.moe.edu.tw/upload/docs/edshare/upload_manual/mess/science20090423/C0006008009.swf」，授權方式為「姓名標示─相同方式分享 2.5 台灣版」。
均一教育平台
靜宜大學博幼數學線上出題系統
科學人各期目錄
臺中市居仁國中白榮銓老師 5E Model Science Lessons

例如：「身邊的大地/板塊構造學說/細說分明」
URL 編碼與解碼
圖形計算機
本班的圖形計算機

維基教科書目錄

各次上課內容

講義例：凡用於圖形計算機的式子，寫成 google 能接受的形式，如「x²」寫成「x^2」。

2015.09.04

談一談：同學想學什麼？
熟悉工具：請見本頁「工具與學習資源」
1. 請每位同學選擇一個「互動教學」。

2015.09.11

莊坤霖：查出壓力公式、密度公式、浮力公式。
柯智懷：查出半衰期公式。
施馨檸：查出萬有引力公式，圓週運動公式(向心加速度、圓週半徑、切線速度三者關係)
熟記並在紙上說明五條指數律：

基本：
1. a^m+n=a^m*aⁿ
2. a^mⁿ=(a^m)ⁿ=a^m*n
3. a⁰=1，a≠0
4. $a^{\frac {1}{m}}$ = ${\sqrt[{m}]{a}}$
5. a^-m= ${\frac {1}{a^{m}}}$
引出：
1. a^m-n= ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}$ ，a≠0
2. $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
3. $({\frac {a}{b}})^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$ ，b≠0
4. (a*b)^m=a^m*b^m

標準圓的方程式為 x²+y²=1，請在 google 圖形計算機上畫出標準圓。

2015.09.18

直角座標系(笛卡兒座標系)：

原點，X軸，Y軸，四象限
點：(x,y)
線段
1. 端點座標：(x₁,y₁)、(x₂,y₂)
2. 線段長： ${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$
向量
A點座標為(x₁,y₁)、B點座標為(x₂,y₂)
1. 表示法： ${\overrightarrow {AB}}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})=(x,y)=-{\overrightarrow {BA}}$
2. 方向
3. 大小：即線段長 $={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$
4. 向量加法
面

方程式與圖形：

一次方程式：
1. ax+by=c
2. 標準式：y=mx+c
  - 比較 y=x,y=2x,y=3x
  - 比較 y=x+3,y=2x+3,y=3x+3
  - 比較 y=-x,y=-2x,y=-3x
3. 練習題
二次方程式：
1. 圓，r代表半徑： ${\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}=1$ → $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ → $y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ → google 畫圖 y=(r^2-x^2)^0.5 和 y=-(r^2-x^2)^0.5
2. 標準圓： $x^{2}+y^{2}=1$
3. 橢圓： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
  - ${\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$ → $y=\pm {\sqrt {\frac {36-9x^{2}}{4}}}$ → google 畫圖 y=((36-9x^2)/4)^0.5 和 y=-((36-9x^2)/4)^0.5
  - ${\frac {x^{2}}{3^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}=1$ → $y=\pm {\sqrt {\frac {36-4x^{2}}{9}}}$ → google 畫圖 y=((36-4x^2)/9)^0.5 和 y=-((36-4x^2)/9)^0.5
  - 承上式，以(x+y)代替x、以(x-y)代替y可以得到旋轉 45° 的圖形， ${\frac {(x+y)^{2}}{3^{2}}}+{\frac {(x-y)^{2}}{2^{2}}}=1$ →如 $13x^{2}-10xy+13y^{2}=36$ → google 畫圖 y=(5x+(468-144x^2)^0.5)/13 和 y=(5x-(468-144x^2)^0.5)/13
4. 左右雙曲線： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
  - x²-y/²=1→ google 畫圖 y=(x^2-1)^0.5 和 y=-(x^2-1)^0.5
5. 上下雙曲線： ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
  - y²-x/²=1→ google 畫圖 y=(x^2+1)^0.5 和 y=-(x^2+1)^0.5
  - 相對論時空用的是上雙曲線：以水平 x軸代表空間位移，縱軸代表 ct
6. 上下拋物線標準式： $y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$ $y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$
  - 觀察 y=x^2,y=-x^2,y=(x-3)^2+4 的圖形
    1. 頂點在 (h,k)
    2. $x^{2}$ 的係數是正的，開口向上； $x^{2}$ 的係數是負的，開口向下
7. 左右拋物線標準式： $x={\frac {(y-h)^{2}}{4c}}+k$
示範用配方法解二次方程式
三次方程式：
1. $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
n次方程式：
1. $y=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dcx^{n-3}$ …
指數方程式
1. 比較 y=1^x,y=2^x,y=(1/2)^x 的圖形
2. 通過(0,1)
3. 底大於 1 ，漸升，可升至無限大
4. 底小於 1 ，漸降，降到趨近 0
5. y=a^x與y=a^-x左右對稱
6. y=e^x
  - e
  - 指數衰減
絕對值方程式
1. y=1-abs(x)，y=-(1-abs(x)) 的圖形

2015.09.25

三組公式

壓力公式、密度公式、浮力公式
1. P=F/A
2. D=M/V
3. F=D×V
半衰期公式
1. 半衰期為 t_½
2. N_(t)=½*N₀=N₀*e^{-λ^t_½}
3. 兩邊消去 N₀ ，½=e^-λ*t_½
4. t_½=ln2/λ
萬有引力公式，圓週運動公式
1. F=GM₁M₂/r²
2. a=v²/r

y=ƒ(x)

多項式
1. 項
2. 係數
3. 次
4. 元
y=ƒ(x)：一元多次方程式
帕司卡三角：(x+a)ⁿ的係數分布

2015.10.02

再講解三組公式

2015.10.16

切線斜率(微分、導數)

「切線斜率」就是「微分」，又叫導數。

過圖形上一點求該點切線方程式

函數 ƒ 在 a 之切線斜率記為 ƒ'(a) ，定義如下：(h=x-a)
$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
其他的表示方式：
1. $f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$
2. y=ƒ(x)，ƒ'(x)= ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ，Δx極小。ƒ'(x)稱為ƒ(x)的導函式，ƒ'(a)為ƒ(x)在 a 點的導數。
3. y=ƒ(x)，ƒ'(x)= ${\frac {dy}{dx}}$ 。ƒ'(x)稱為ƒ(x)的導函式，ƒ'(a)為ƒ(x)在 a 點的導數。
單項式的 ƒ'(x)
1. a*xⁿ對 x 的微分為 n*a*x^n-1
2. n為0(即常數)，則微分為 0 。因為微分代表「變化」，常數沒有變化。
3. 除 0 之外，n不管是正數或負數、整數或非整數都成立，
多項式的 ƒ'(x)
1. 每個單項皆微分
2. 常數項微分為0
例題
y=ƒ'(x) 與 y=0 所夾面積即為 y=ƒ(x)

2015.10.23

x軸(y=0)至函式的距離

2015.10.30

選課同學作業實作

2015.11.6

柯智懷：原子彈 prezi 簡報，簡報資料需要再補充以下資料：
1. 臨界質量，次臨界、超臨界與核武器的安全措施。
2. 觸發機制，如「鎗式」、「內爆式」的觸發方式。
3. 中子彈
4. 德國作戰部科學家為什麼只讓希特勒知道核研究可以提供新能源增加工業實力，不讓希特勒知道核研究可以發展巨大威力的炸彈？
5. 不再進行核試爆是否代表不再開發核武器的新設計，如否，如何測試新核武的性能與可靠性？停止核試爆與電腦發有的時間點是否有關？
6. 「黃色炸藥爆炸當量」寫錯，是 1 克當量為能量 1 千卡(4184焦耳)
7. 「大衛克羅無後座力砲的威力只有10當量」漏字請補正。
施馨檸：相對論時空
1. 再擇時間繼續報告
2. 渺子設為光速的 0.994 。

2016.02.19

平面向量的含意
平面向量的加法
平面向量的減法
向量大小(長度公式)

2016.02.26

平面向量計算練習
兩點中點座標公式

2016.03.04

標準圓：
1. y=(1-x^2)^(1/2),y=-(1-x^2)^(1/2),y=sin(A*pi/180),y=tan(A*pi/180)*x，A°角
2. y=(1-x^2)^(1/2),y=-(1-x^2)^(1/2),y=sin(30*pi/180),y=tan(30*pi/180)*x，30°角
3. y=(1-x^2)^(1/2),y=-(1-x^2)^(1/2),y=sin(45*pi/180),y=x，45°角
4. y=(1-x^2)^(1/2),y=-(1-x^2)^(1/2),y=sin(60*pi/180),y=tan(60*pi/180)*x，60°角
sinA：標準圓中的 y 座標，同時也是直角三角形的對邊比斜邊
cosA：標準圓中的 x 座標，同時也是直角三角形的鄰邊比斜邊
餘弦定律
圓方程式與畢氏定理
圓方程式是兩個函式

2016.03.11

撰寫標準圓圖形計畫機，以了解sin,cos(上)

2016.03.18

撰寫標準圓圖形計畫機，以了解sin,cos(下)

2016.03.25

多項式圖形計算機

練習製造圖形
調整位置及尺寸
斜率：
1. y=2x³-6x²+3x+4
2. 圖：801×801
3. 原點：50,2300
4. 每1單位代表 500 點
5. 各點之x值：0;1，以兩點逼近來說明切線斜率
求斜率構成的函式 y=ƒ(x)
以 (a+h)²、(a+h)³、(a+h)⁴、(a+h)⁵ 直式展開，說明帕司卡係數原理
證明單項式 xⁿ 的微分是 n*x^n-1

2016.04.01

函式的轉彎處=>斜率為 0
切線斜率(微分、導數)的其他表示法
1. 導數的 Δ 表示法：某點導數(切線斜率)=Δy/Δx，Δx 很小
2. 導數的 d 表示法：某點導數(切線斜率)=dy/dx
3. 導函式與導數：導函式可以描寫所有的點(x值)，導數指描寫特定的一點(x值)

求導法則

法則	表示式	口訣
	C為常數y=ƒ(x)=C，dy/dx=0	常數微分為零
	d(Cƒ(x))/dx=C(d(ƒ(x))/dx)	常係數可提出
乘積法則	d(f(x)g(x))/dx=d(f(x))/dxg(x)+f(x)d(g(x))/dx=f'(x)g(x)+f(x)*g'(x)	前導後不導+前不導後導
鏈式法則	d(f(x))/dx=d(f(x))/d(g(x))d(g(x))/dx或d(f(x))=d(f(x))d(g(x))/d(g(x))	分子分母同乘d(g(x))

原函式ƒ(x)=0時，x值稱為方程式的根。此處為函式圖形與x軸之交點。
函式與其導數函數的關係
1. 導數為0處，原函式有極大值或極小值，斜率由正轉負時有極大值，斜率由負轉正時有極小值。
2. 一系列的函式 ƒ(x)+C ，有相同的導函式 ƒ'(x) 。
3. 導函式夾x軸、y軸的面積，是原函式(一系列)的函數值。
4. ƒ(x)=0.5x²+0.5x+C，ƒ'(x)=x+0.5
5. ƒ(x)=0.5x²-0.5x+C，ƒ'(x)=x-0.5
極限存在，它的左右極限存在且相等
函數在一點可導的條件是：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。

2016.04.08

	相對論	牛頓力學	說明
速度v(向量)	dx/dt	dx/dt	位置對時間微分
加速度a(向量)	dv/dt	dv/dt	速度對時間微分
力F(向量)	d(mv)/dt	ma=m*dv/dt	重量mv對時間微分
功與能(純量)	F*dx	F*dx	施力*位移

dE_k=F*dx=(d(mv)/dt)*dx=d(mv)*v=(dm*v+m*dv)*dv=dm*v²+m*dv*v=？=dm*c²

2016.04.15

E=mc²
1. 推導的後半段
函式的限制
二次方程式的 google 圖形計算機表示

圓，r代表半徑：

{\frac {x^{2}}{r^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}=1

→

x^{2}+y^{2}=r^{2}

→

y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

→ google 畫圖 y=(r^2-x^2)^0.5 和 y=-(r^2-x^2)^0.5

標準圓： $x^{2}+y^{2}=1$
橢圓： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
- ${\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$ → $y=\pm {\sqrt {\frac {36-9x^{2}}{4}}}$ → google 畫圖 y=((36-9x^2)/4)^0.5 和 y=-((36-9x^2)/4)^0.5
- ${\frac {x^{2}}{3^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2^{2}}}=1$ → $y=\pm {\sqrt {\frac {36-4x^{2}}{9}}}$ → google 畫圖 y=((36-4x^2)/9)^0.5 和 y=-((36-4x^2)/9)^0.5
- 承上式，以(x+y)代替x、以(x-y)代替y可以得到旋轉 45° 的圖形， ${\frac {(x+y)^{2}}{3^{2}}}+{\frac {(x-y)^{2}}{2^{2}}}=1$ →如 $13x^{2}-10xy+13y^{2}=36$ → google 畫圖 y=(5x+(468-144x^2)^0.5)/13 和 y=(5x-(468-144x^2)^0.5)/13
左右雙曲線： ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
- x²-y/²=1→ google 畫圖 y=(x^2-1)^0.5 和 y=-(x^2-1)^0.5
上下雙曲線： ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$ ${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1$
- y²-x/²=1→ google 畫圖 y=(x^2+1)^0.5 和 y=-(x^2+1)^0.5
- 相對論時空用的是上雙曲線：以水平 x軸代表空間位移，縱軸代表 ct
上下拋物線標準式： $y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$ $y={\frac {(x-h)^{2}}{4c}}+k$
- 觀察 y=x^2,y=-x^2,y=(x-3)^2+4 的圖形
  1. 頂點在 (h,k)
  2. $x^{2}$ 的係數是正的，開口向上； $x^{2}$ 的係數是負的，開口向下
左右拋物線標準式： $x={\frac {(y-h)^{2}}{4c}}+k$

示範用配方法解二次方程式

2016.04.22

配方法
相對論時空
1. r²=x²+y²+z²
2. 時空距離 s²=ct²-r²
3. (臥室,起牀)到(廚房,早餐)的時空距離，在所有相對運動的座標系中，均相等
縱軸代表 ct ，橫軸代表 r
1. google 圖形y=x,y=-x的含意
配方法計算練習

2016.04.29

公式總整理