討論:首頁

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位$i$所組成。所有的複數都可表達成$a+bi$。

虛數單位

為何需要虛數單位

• 解方程：$0.5x^{2}-6x+55.5=0$

從以上一元二次方程的判別式$b^{2}-4ac=36-4(0.5)(55.5)=36-111=-75$中，我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答$$

 
   
     
       x
       =
       i
     
   
   {\displaystyle x=i}
 

$x=i$或$$

 
   
     
       −
       i
     
   
   {\displaystyle -i}
 

$-i$，其中$$

 
   
     
       i
     
   
   {\displaystyle i}
 

$i$是常數，其值為$$

 
   
     
       
         
           −
           1
         
       
     
   
   {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
 

${\sqrt {-1}}$，稱為虛數單位。

如上題：判別式=$$

 
   
     
       36
       −
       111
       =
       −
       75
     
   
   {\displaystyle 36-111=-75}
 

$36-111=-75$，$$

 
   
     
       x
       =
       
         
           
             6
             +
             
               
                 −
                 75
               
             
           
           1
         
       
     
   
   {\displaystyle x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}}
 

$x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}$, $$

 
   
     
       
         
           
             6
             −
             
               
                 −
                 75
               
             
           
           1
         
       
     
   
   {\displaystyle {\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}}
 

${\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}$

可記做：$$

 
   
     
       x
       =
       6
       +
       5
       
         
           3
         
       
       i
     
   
   {\displaystyle x=6+5{\sqrt {3}}i}
 

$x=6+5{\sqrt {3}}i$, $$

 
   
     
       6
       −
       5
       
         
           3
         
       
       i
     
   
   {\displaystyle 6-5{\sqrt {3}}i}
 

$6-5{\sqrt {3}}i$

在古代，數學的應用大多用不着複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

${\sqrt {-9}}=3i$

${\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i$

${\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i$，其中$x\geq 0$

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}$

切記以下的計法不正確：

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}$。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$只能應用於$x,y\geq 0$時，因為負數的開方是不連續的。

$$

 
   
     
       i
     
   
   {\displaystyle i}
 

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$i^{7}=-i\,$

...

練習

若$n$是整數，試計算以下的值：

1. $i^{4n}$
2. $i^{4n+1}$
3. $i^{4n+2}$
4. $i^{4n+3}$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成$a+bi$，其中$a,b$是實數。$a$稱為實部，而$b$稱為虛部。例如$3+4i$的實部就是$3$，虛部是$4$。

一個複數$$

 
   
     
       a
       +
       b
       i
     
   
   {\displaystyle a+bi}
 

$a+bi$的軛（Conjugates）是$$

 
   
     
       a
       −
       b
       i
     
   
   {\displaystyle a-bi}
 

$a-bi$，$$

 
   
     
       3
       +
       4
       i
     
   
   {\displaystyle 3+4i}
 

$3+4i$的軛就是$$

 
   
     
       3
       −
       4
       i
     
   
   {\displaystyle 3-4i}
 

$3-4i$。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如$$

 
   
     
       
         x
         
           2
         
       
       −
       6
       x
       +
       25
       =
       0
     
   
   {\displaystyle x^{2}-6x+25=0}
 

$x^{2}-6x+25=0$的根就是$$

 
   
     
       3
       +
       4
       i
     
   
   {\displaystyle 3+4i}
 

$3+4i$和$$

 
   
     
       3
       −
       4
       i
     
   
   {\displaystyle 3-4i}
 

$3-4i$。

複數$$

 
   
     
       z
     
   
   {\displaystyle z}
 

$z$的軛寫作$$

 
   
     
       
         
           
             z
             ¯
           
         
       
     
   
   {\displaystyle {\bar {z}}}
 

${\bar {z}}$。複數和其軛相乘，即$$

 
   
     
       z
       ×
       
         
           
             z
             ¯
           
         
       
       =
       (
       a
       +
       b
       i
       )
       (
       a
       −
       b
       i
       )
       =
       a
       (
       a
       )
       +
       a
       (
       b
       i
       )
       −
       a
       (
       b
       i
       )
       −
       (
       b
       i
       )
       (
       b
       i
       )
       =
       
         a
         
           2
         
       
       +
       
         b
         
           2
         
       
     
   
   {\displaystyle z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}}
 

$z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$，是一個實數。將複數和軛相加，$$

 
   
     
       z
       +
       
         
           
             z
             ¯
           
         
       
       =
       (
       a
       +
       b
       i
       )
       +
       (
       a
       −
       b
       i
       )
       =
       2
       a
     
   
   {\displaystyle z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a}
 

$z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減，$$

 
   
     
       z
       −
       
         
           
             z
             ¯
           
         
       
       =
       (
       a
       +
       b
       i
       )
       −
       (
       a
       −
       b
       i
       )
       =
       2
       b
       i
     
   
   {\displaystyle z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi}
 

$z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$，會得到其虛部的兩倍。 $$

 
   
     
       
         |
       
       z
       
         |
       
       =
       
         
           
             a
             
               2
             
           
           +
           
             b
             
               2
             
           
         
       
     
   
   {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
 

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$稱為$$

 
   
     
       a
       +
       b
       i
     
   
   {\displaystyle a+bi}
 

$a+bi$的模或絕對值。

運算

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

• 加、減法：實部加實部，虛部加虛部：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分：${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１：${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求$$

 
   
     
       36
       +
       111
       
         i
         
           2
         
       
     
   
   {\displaystyle 36+111i^{2}}
 

$36+111i^{2}$之值。 $$

 
   
     
       
         i
         
           2
         
       
       =
       −
       1
     
   
   {\displaystyle i^{2}=-1}
 

$i^{2}=-1$，$$

 
   
     
       36
       +
       111
       
         i
         
           2
         
       
       =
       36
       −
       111
       =
       −
       75
     
   
   {\displaystyle 36+111i^{2}=36-111=-75}
 

$36+111i^{2}=36-111=-75$

開方

要找一個複數的開$n$次冪，可以先求$(a+bi)^{n}$的展開式，再對應欲開$n$次冪的複數的虛部和實數求解。

例：$$

 
   
     
       
         x
         
           2
         
       
       =
       i
     
   
   {\displaystyle x^{2}=i}
 

$x^{2}=i$，求$$

 
   
     
       x
     
   
   {\displaystyle x}
 

$x$。

$(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i$

$i=0+1i$

$a^{2}-b^{2}=0;2ab=1$

解方程得$a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$或$a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$，因此，$x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$或$x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

複數平面

本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置，當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置，用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。

歐拉公式

等式$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 當x為π時, $e^{i\pi }+1=0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：$e$，$i$，$\pi$，１，０，连起来.

幾何上的應用

向量

复数向量是表示在復平面上的向量

向量z=$$

 
   
     
       a
       +
       b
       i
     
   
   {\displaystyle a+bi}
 

$a+bi$

在實軸上的正射影長為a，在虛軸上的正射影長為b

長度为$$

 
   
     
       
         |
       
       z
       
         |
       
       =
       
         
           
             (
             
               
                 a
                 
                   2
                 
               
               +
               
                 b
                 
                   2
                 
               
             
             )
           
         
       
     
   
   {\displaystyle |z|={\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)}}}
 

$|z|={\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$

練習解答

練習一

1. 1
2. $i$
3. -1
4. $-i$

维基百科中的相关条目：

複數 (數學)