「E」修訂間的差異
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請看右圖，藍色曲線為 <math>e^x</math> ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。 | 請看右圖，藍色曲線為 <math>e^x</math> ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。 | ||
| − | ===二、<math>e^{x}</math>的泰勒級數=== | + | ===二、<math>e^{x}</math> 的泰勒級數=== |
:<math>e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x</math> | :<math>e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x</math> | ||
:<math>= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...</math> | :<math>= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...</math> | ||
或： | 或： | ||
: <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n</math> | : <math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n</math> | ||
| + | 用泰勒級數證明 <math>{d \over dx} e^x = e^x</math> ： | ||
| + | : <math> | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | \frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt] | ||
| + | & =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt] | ||
| + | & =e^x | ||
| + | \end{align} | ||
| + | </math> | ||
| − | ===三、<math>\ | + | ===三、<math>\ln x</math>=== |
| + | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Log_(2).svg' width=120px height=*/></div> | ||
| + | <math>y=e^x</math>，這是給定指數大小，求出次方值。<br/>如果 x,y 對調，<br/>變成給定次方值，求出指數大小：<br/><math>x=e^y</math> 稱 <math>\ln x=y</math> 即 <math>y=\ln x</math> 。<br/>圖形如右： | ||
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| + | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Exp_explog.png' width=200px height=200px/></div> | ||
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| + | ===四、<math>\ln x</math> 的微分=== | ||
| + | 如右圖， <math>y=e^x</math> 為紅線， <math>y=\ln x</math> 為綠線，兩者以 y=x (藍)直線互為鏡像。 | ||
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| + | 既然 <math>y=e^x</math> 的切線斜率 ∆x 始終為 1 ∆y 始終為 y ，斜率始終為 y ；<br/>那麼 <math>y=\ln x</math> 的切線斜率就會 ∆y 始終為 1 ∆x 始終為 x ，斜率始終為 1/x 。 | ||
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| + | <math>\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}</math> | ||
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| + | ===四、<math>\sqrt[x]{x}</math> 的極大值=== | ||
| + | <div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Xth_root_of_x.svg' width=250px height=*/></div> | ||
| + | 如右圖： <math>f(x) = x^\frac{1}{x}</math> 其最大值在 x=e 處 | ||
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| + | ==擴充至複數== | ||
| + | 歐拉公式： | ||
| + | :<math>e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x</math> | ||
| + | 歐拉恆等式：當<math>x = \pi</math> | ||
| + | :<math>e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0</math> | ||
| + | 棣美弗公式： | ||
| + | :<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)</math> | ||
於 2021年1月3日 (日) 18:39 的最新修訂
e 為自然對數底，又稱自然常數、自然底數、歐拉數(Euler's number)。值約：
e = 2.71828182845904523536，前十五位
記憶要訣：2.7、兩次 1828 ，45度90度45度(等腰直角)。
目錄
定義：
- 定義 e 爲下列極限值：
- [math]e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/math]
- [math]e = \lim_{t \to 0} (1 + t)^\frac{1}{t}[/math]
- 定義 e 爲階乘倒數之無窮級數的和：
- [math]e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots[/math]
- 其中 n! 代表 n 的階乘。
- 證明是使用二項式定理，詳見中文維基百科 e 條目
- 定義 e 爲唯一的正數 x 使得
- [math]\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt= 1[/math]
- 圖示：
- xy=1 為雙曲線，y=ƒ(x)=1/x
- 如右圖，此函數取積分，從 1 積分到 e ，積分值恰為 1 。
- 定義 e 爲唯一的實數 x 使得
- [math]\lim_{h\to 0} \frac{x^h-1}{h} = 1[/math]
以上定義是等價的，證明請見：Characterizations of the exponential function(指數函數的表徵)
性質：
一、[math]e^x[/math]導數與自身相等
- [math]\frac{d}{dx} e^x=e^x[/math]，簡圖如下：
請看右圖，藍色曲線為 [math]e^x[/math] ，從在藍色曲線上任意一點 P ，繪製紅色切線，和高度為 h 的垂直豎線，與在 x 軸上的底邊 b 形成了一個直角三角形。因為在 P 上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比，而導數等於這個函數的值， h 必須等於 h 與 b 之比。因此底邊 b 必須總是 1 。
二、[math]e^{x}[/math] 的泰勒級數
- [math]e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x[/math]
- [math]= 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...[/math]
或：
- [math]e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n[/math]
用泰勒級數證明 [math]{d \over dx} e^x = e^x[/math] ：
- [math] \begin{align} \frac{d}{dx}e^x & = \frac{d}{dx} \left(1+\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n!} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac {nx^{n-1}}{n!} =\sum_{n=1}^\infty \frac {x^{n-1}}{(n-1)!} \\[6pt] & =\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k}{k!}, \text{ where } k=n-1 \\[6pt] & =e^x \end{align} [/math]
三、[math]\ln x[/math]
[math]y=e^x[/math]，這是給定指數大小，求出次方值。
如果 x,y 對調，
變成給定次方值，求出指數大小：
[math]x=e^y[/math] 稱 [math]\ln x=y[/math] 即 [math]y=\ln x[/math] 。
圖形如右：
四、[math]\ln x[/math] 的微分
如右圖， [math]y=e^x[/math] 為紅線， [math]y=\ln x[/math] 為綠線，兩者以 y=x (藍)直線互為鏡像。
既然 [math]y=e^x[/math] 的切線斜率 ∆x 始終為 1 ∆y 始終為 y ，斜率始終為 y ；
那麼 [math]y=\ln x[/math] 的切線斜率就會 ∆y 始終為 1 ∆x 始終為 x ，斜率始終為 1/x 。
[math]\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}[/math]
四、[math]\sqrt[x]{x}[/math] 的極大值
如右圖： [math]f(x) = x^\frac{1}{x}[/math] 其最大值在 x=e 處
擴充至複數
歐拉公式：
- [math]e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x[/math]
歐拉恆等式：當[math]x = \pi[/math]
- [math]e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0[/math]
棣美弗公式：
- [math](\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)[/math]
