「稜錐體積公式」修訂間的差異
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[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.[/math]
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| + | 假設有棱錐{{math|PA<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub>}}，其中{{math|A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>...A<sub>n</sub>}}為底面的{{math|''n''}}邊形，{{math|P}}為棱錐頂點。設{{math|P}}在底面的投影為{{math|Q}}點，{{math|PQ}}的長度為{{math|h}}。線上段{{math|PQ}}上取一點{{math|X}}，使得線段{{math|PX}}的長度為{{math|y}}：0{{math| ≤ y ≤ h}}，那麼過點{{math|X}}而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的{{math|''n''}}邊形相似的{{math|''n''}}邊形，記作{{math|A<sub>x1</sub></sub>A<sub>x2</sub>...A<sub>xn</sub>}}，它的面積{{math|S<sub>y</sub>}}與底面積{{math|S}}的比值等於{{math|PX}}與{{math|PQ}}的比值的平方： | ||
| + | <center><math>\frac{S_y}{S} = \left( \frac{PX}{PQ} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2.</math></center> | ||
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| + | 在點{{math|X}}附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：<math>dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy</math> | ||
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| + | 所以棱錐的體積等於積分： <math>V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. </math> | ||
於 2026年9月1日 (二) 17:02 的修訂
假設有棱錐模板:Math，其中模板:Math為底面的模板:Math邊形，模板:Math為棱錐頂點。設模板:Math在底面的投影為模板:Math點，模板:Math的長度為模板:Math。線上段模板:Math上取一點模板:Math，使得線段模板:Math的長度為模板:Math：0模板:Math，那麼過點模板:Math而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的模板:Math邊形相似的模板:Math邊形，記作模板:Math，它的面積模板:Math與底面積模板:Math的比值等於模板:Math與模板:Math的比值的平方：
在點模板:Math附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]
所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h. [/math]