稜錐體積公式

一、積分算法：

 

假設有棱錐 PA₁A₂...A_n ，其中 A₁A₂...A_n 為底面的 n 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， AB 的長度為 h 。線段 AB 上取一點 X ，使得線段 AX 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 n 邊形相似的 n 邊形，記作 A_x1A_x2...A_xn ，它的面積 S_y 與底面積 S 的比值等於 AX 與 AB 的比值的平方：

[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2[/math]

在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]

所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h [/math]

二、分割三角柱：

	=>		=>		=>
三角柱		分割三角柱		椎1與椎3 同底等高		椎2與椎3 同底等高

三、分割立方體：

四、使用「隱形金字塔」：

前題：

1. 稜錐體體積為同底等高柱體的 k 倍， k 為常數。
2. 稜錐體若同底等高，體積會相等。

隱形金字塔全部組件：

1個大四面體＋4個小四面體＋12個 ¼八面體

1. 單個 ¼八面體 和小四面體同底等高，體積各為「一單位」。
2. 四個 ¼八面體拼成八面體 ，體積為「四單位」。
3. 在八面體四個角落加小四面體，變成和大四面體同樣大小，體積為「八單位」。
   
4. 合全部組件為一正立方體 ，總體積「24單位」。
5. 以半個方形為底的棱椎 ，體積為「四單位」，是以以半個方形為底的柱體的 ⅓ 。
6. k 為 ⅓ 。

推得球的體積為圓柱體積減圓椎體積