「稜錐體積公式」修訂間的差異

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'''積分算法：'''
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'''一、積分算法：'''
  
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Square_pyramid_slant_height.png' width='*' height='206'/>&nbsp;<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Pyramid_(zh).png' /></div>
 
<div style='float:right'><img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Square_pyramid_slant_height.png' width='*' height='206'/>&nbsp;<img src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Pyramid_(zh).png' /></div>
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'''二、分割三角柱：'''
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'''分割三角柱：'''
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/三角柱.jpeg' width=50% height=* /></th>
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/三角柱.jpeg' style='width:*;height:120pt'/></th>
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/分割三角柱.jpeg' style='width:*;height:120pt'/></th>
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/椎1與椎3同底等高.jpeg' width=50% height=* /></th>
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/椎2與椎3同底等高.jpeg' width=50% height=* /></th>
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<th><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/椎2與椎3同底等高.jpeg' style='width:*;height:120pt'/></th>
 
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'''三、分割立方體：'''
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<tr><th><VideoFlash>vJAxQtR0g1A</VideoFlash></th><th><VideoFlash>-aD4DR5ceb8</VideoFlash></th>
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'''四、使用「隱形金字塔」：'''
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<div style='float:right'><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/隱形金字塔全部組件.png' width=500 height=500 /></div>
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前題：
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# 稜錐體體積為同底等高柱體的 k 倍， k 為常數。
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# 稜錐體若同底等高，體積會相等。
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隱形金字塔全部組件：
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:1個大四面體＋4個小四面體＋12個 ¼八面體
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<li>單個 ¼八面體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/¼八面體.jpg' width=50 height=60 />和小四面體同底等高，體積各為「一單位」。</li>
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<li>四個 ¼八面體拼成八面體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/四個¼八面體.jpg' width=100 height=106 /> ，體積為「四單位」。</li>
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<li style='vertical-align:top'>在八面體四個角落加小四面體，變成和大四面體同樣大小，體積為「八單位」。<br/><img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/在八面體四個角落加小四面體.jpg' width=150 height=165 /></li>
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<li>合全部組件為一正立方體 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/全部組件可組成正立方體.jpg' width=150 height=150 /> ，總體積「24單位」。</li>
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<li>以半個方形為底的棱椎 <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/以半個方形為底的棱椎1.jpg' width=171 height=150 /> <img src='http://files.quality-learning.net/files/wikiUsed/以半個方形為底的棱椎2.jpg' width=74 height=150 /> ，體積為「四單位」，是以以半個方形為底的柱體的 ⅓ 。</li>
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<li>k 為 ⅓ 。</li>
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<span style='vertical-align:top;'>'''五、推得球的體積為圓柱體積減圓椎體積''' </span>
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於 2026年9月12日 (六) 17:33 的最新修訂

一、積分算法：

 

假設有棱錐 PA1A2...An ，其中 A1A2...An 為底面的 n 邊形， A 為棱錐頂點。設 A 在底面的投影為 B 點， AB 的長度為 h 。線段 AB 上取一點 X ，使得線段 AX 的長度為 y ：0 ≤ y ≤ h ，那麼過點 X 而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的 n 邊形相似的 n 邊形，記作 Ax1Ax2...Axn ，它的面積 Sy 與底面積 S 的比值等於 AX 與 AB 的比值的平方：

[math]\frac{S_y}{S} = \left( \frac{AX}{AB} \right)^2 = \left( \frac{y}{h} \right)^2[/math]

在點 X 附近擷取的「一片」棱錐「切片」，它的體積大約等於：[math]dV_y \approx \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy[/math]

所以棱錐的體積等於積分： [math]V = \int_{y=0}^h dV_y = \int_{y=0}^h \left( \frac{y}{h} \right)^2 S dy = \frac{h^3}{3} \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{1}{3} S h [/math]


二、分割三角柱：

=> => =>
三角柱 分割三角柱 椎1與椎3
同底等高		 椎2與椎3
同底等高


三、分割立方體：


四、使用「隱形金字塔」：

前題：

  1. 稜錐體體積為同底等高柱體的 k 倍， k 為常數。
  2. 稜錐體若同底等高，體積會相等。

隱形金字塔全部組件：

1個大四面體＋4個小四面體＋12個 ¼八面體
  1. 單個 ¼八面體 和小四面體同底等高，體積各為「一單位」。
  2. 四個 ¼八面體拼成八面體 ，體積為「四單位」。
  3. 在八面體四個角落加小四面體，變成和大四面體同樣大小，體積為「八單位」。
  4. 合全部組件為一正立方體 ，總體積「24單位」。
  5. 以半個方形為底的棱椎 ，體積為「四單位」，是以以半個方形為底的柱體的 ⅓ 。
  6. k 為 ⅓ 。


五、推得球的體積為圓柱體積減圓椎體積

取自「http://jendo.org/alWiki/index.php?title=稜錐體積公式&oldid=12204」